Основные операции с матрицами: как складывать, вычитать, умножать, транспонировать и найти определитель

Содержание

1. Определение матрицы
2. Подготовка матрицы
3. Транспонирование матриц
4. Сложение и вычитание матриц
5. Умножение матриц
6. Определитель матрицы

Высшая математика, транспонирование матриц, нахождение определителей – это всё звучит как-то непонятно и пугающе, но если разобраться, то зверь оказывается не так уж и страшен. Начнём знакомство с определения.

Определение матрицы

Матрица – это таблица, состоящая из нескольких элементов, каждый из которых занимает свою «ячейку». Чтобы упростить запись примеров с матрицами, их обозначают прописными латинскими буквами:

Матрицы A и B состоят из 4 элементов, каждый из них рассматривается по отдельности и находится в своей ячейке, поэтому, например, в матрице А нельзя произвести вычитание 1 – 8, чтобы получить один элемент вместо двух.

Также нельзя менять местами числа, если только этого не сказано в задаче, каждый элемент имеет статичное положение.

Любая матрица имеет строчки:  

И столбцы:

Размер матрицы определяется количеством столбцов и строчек. Первым всегда указывают количество строк, а потом уже столбцов. Например, у матрицы Aразмер два на два.

Матрицы с равным количеством строчек и столбцов называются квадратными. Есть квадратные матрицы второго порядка, они, как А, размером «два на два», а есть третьего порядка, они имеют размер «три на три».

Подготовка матрицы

Прежде чем начать изучать сложение, вычитание, а тем более умножение, нужно усвоить ещё несколько моментов, касающихся операций над матрицами:

Вынесение (внесение) минуса – достаточно полезная операция, если в матрице содержится множество отрицательных элементов, ведь гораздо проще работать с положительными числами, меньше шансов ошибиться.

Чтобы вынести минус, необходимо поменять знаки всех элементов. Рассмотрим на примере:

Преобразованный вариант выглядит попроще. Внесение минуса также делается с помощью изменения знаков каждого элемента:

Ноль при внесении или вынесении минуса нулём и остаётся.

Умножение матрицы на число совершается путём умножения каждого её элемента на это число, но не всегда необходимо совершать это действие. Например, если в ответе получается умножение матрицы на дробь, и при умножении элементов получаются нецелые числа, то лучше оставить всё как есть и не умножать.

Пример умножение матрицы на число:

Пример случая, когда лучше оставить так, потому что при умножении на числоэлементы станут нецелыми:

Транспонирование матриц

Для обозначения транспонированной матрицы используется индекс «T» над латинской буквой. Чтобы транспонировать матрицу, необходимо переписать её строчки в столбцы. Для понимания произведём эту операцию пошагово:

Сложение и вычитание матриц

Чтобы суммировать две матрицы, необходимо сложить соответствующие элементы по отдельности.

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Чтобы вычесть одну матрицу из другой, нужно также найти разность соответствующих элементов.

Другой способ найти разность – вынести минус из вычитаемой матрицы, поменяв знаки всех её элементов, а затем сложить (так как минус на минус даёт плюс):

Ответ получается тот же самый.

Умножение матриц

Умножение – дело уже более сложное. Чтобы матрицы можно было перемножить, они должны соответствовать одному условию: количество столбцов одной матрицы должно равняться количеству строк другой.

Порядок умножения проще выразить в формулах. Начнём с простого – перемножение матриц «два на два» и «два на один»:

Исходя из данной формулы, можно сделать вывод, что в итоговой матрице элемент, находящийся в первом столбце и первой строке равен сумме произведений соответствующих элементов первой строки первого множителя и первого столбца второго множителя. Последующие элементы итоговой матрицы находятся по тому же принципу.

Теперь более сложный пример для полного понимания закономерности:

Заметим, что размер матрицы, получившейся в результате умножения, всегда равен размеру второго множителя. Также отметим, что множители менять местами нельзя, потому что результат будет другим.

Рассмотрим формулу для матрицы третьего порядка, принцип тот же:

Определитель матрицы

Определитель или детерминант – это некое число, которое можно найти только для квадратной матрицы. Обозначается определитель с помощью знака «?» или det.

Начнём с простого – с матрицы второго порядка, рассмотрим формулу для нахождения детерминанта:

С матрицей третьего порядка уже сложнее. Для нахождения определителя в данном случае есть несколько способов, рассмотрим два самых простых:

Правило треугольника. Детерминант находится по формуле:

   Выделенные элементы необходимо перемножить. Для наглядности приведём пример:

Компания «РосДиплом» на протяжении 20 лет занимается студенческими работами и предлагает помощь студентам во всех областях и темах. Наши преимущества: огромный опыт работы, лучшие авторы, собранные со всех уголков России, гарантии успешной сдачи и оптимальной цены, а также индивидуальный подход к каждому клиенту.